大哉数学在预测中的应用 [复制链接]

华罗庚在《大哉数学之为用》中讲述数学的应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献。

　　数学的一个基本功用是可以以令人满意的方式建立模式或表述规律。“数”是数学的核心，包括5个数系：自然数、整数、有理数、实数和复数。数学的实现是通过运算来完成的──加、减、乘、除。

　　自然科学的主要任务就是预测、预见各种自然现象。对天气、台风、地震、病虫害、海浪等预测工作的研究，大大提高了人类适应自然的能力。对社会、经济各方面的研究预测，在当今经济高速发展的社会中同样显得重要。而无论那一方面的研究，数学的作用都是决定性的。离开数学，预测学将无从谈起。而深难也非数学的唯一标准。事实上，象线性规划、对策论（分获诺贝尔经济学奖）本身并不深奥难懂。就预测过程而言，数学的应用主要体现在从所预测的事物中抽象出数学公式或模型的实现方法上；或者将普适的数学方法应用到具体的预测领域中。

　　翁文波认为：整个宇宙，当然包括人类，都是生活在精确数学定律制约之中，只是有许多的规律我们尚未认识和把握。要以可知论的态度，充分地应用数学并在实践中发展完善数学。

　　<1>、数
　　古希腊科学家毕达哥拉斯认为世界上万事万物，都可以用数的关系来解释， 所谓“万物皆数”。认为前4个奇数和前4个偶数尤为重要，整个宇宙就建立在这8个数的基础上。毕达哥拉斯学派曾写颂“圣四”的祷文：“圣洁的四啊！您孕育着永流不息的创造源泉！因为您起源于纯洁而深奥的一，渐次达到圣洁的四，然后走出圣洁的十，它为天下之母，无所不包无所不属，首出命世，永不偏倚，永不倦怠，成为万物之锁钥”。
　　《道德经》曰：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和”。
　　《易经》曰：“无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。
　　华罗庚曾说过，若要沟通两个不同星球的信息交往，最好在太空飞船中带去两个图形──表示“数”的洛书与表示“数形关系”的勾股定理图。
　　<2>、整数
　　华罗庚：数学是科学的女王，整数是数学的女王。整数具有连续和突变两重性，它反映客观世界的一种重要秩序，但是并不具有周期性。现代直觉主义者克罗内克声称：“上帝创造了整数，其他都是人的工作”。除整数外，所有的数学结构必须建于具有清楚意义的术语的基础之上。
　　一般情况下，被应用的整数是有限的。许多问题还可以用同类余的概念将整数限制在更小的范围内。因为一个整数被另一个整数M除，它的余数 一定是：0、1、2、…、(M-1)中的一个，因此可以把全体整数按照被M除的余数分为M类，记作Rm, 称为整数M的剩余类。这些剩余数也可以象普通数那样进行加法和乘法运算，其结果仍为被M除的余数。如M=8，则有R（0）、R（1）、…、R（7）8类剩余数,称模为8的同余式。干支记历即为以 60为模的纪年法。同类余以模的形式体现整数的周期特性。
　　同余式的基本性质：
　　定理1 同余关系是一种等价关系，具有
　　 aoa (mod m) (反身性)；
　　 若 aob (mod m) ,则 boa (mod m) (对称性)；
　　 若 aob, boc (mod m) ,则 aoc (mod m) (传递性)。
　　此三项将整数分为若干类，称同余类。每类中各取一数为代表，此代表组名为一完全剩余系。
　　定理2 若 aob ,a1ob1 (mod m) ,则
　　a+a1ob+b1, a-a1ob-b1, a′a1ob′b1 (mod m)
　　同余式的性质使整数以模的形式具有周期可递推性，即可预测性。
　　加法与乘法
　　整数相加仍为整数，整数所表达的秩序不因加法处理而失真。乘除则不同，如3秒加5秒等于8秒，有意义；而3秒乘5秒等于15秒的平方，则无意义。整数的这项性质可述为“诸整数所成之集，对加减乘三种运算自封”。用量子力学的思维方法来看：平常的代数，A ′ B=B ′ A；但在量子力学中，A乘B不等于B乘A，乘法不可交换，加法可以，A加B等于B加A。可见加法运算在宏观和微观中均具有不可代替的地位。翁文波：“在数学领域中，我们很多人都掌握了解析几何、代数几何、数理逻辑、概率论、微积分等等，但是我说，最基本的质数的加减法问题还没有完全掌握”。
　　乘法可以反映比率关系。中国古河图（幻方）就反映一种简明的比率关系，并且存在一种循环比率关系。
　　在运算关系上，加法与乘法都可以反映某种对称关系。预测方法中的运算关系以加法和乘法为主。具体运算中还存在运算元素的次序关系，特定情况下的次序可以直接描述原因和结果的关系。

[此贴子已经被玩股于2002-11-23 14:40:46编辑过]

设A和B是任意两集合。若存在规则f，使A中的每个元素a都对应B中的唯一确定的元素b，称f为从集合A到集合B的一个映射，记f:A?B.

　　理想的预测过程可表述为一种映射关系。而且，实际事件组成的集合(设为B)构成预测模型所描述的事件集合(设为A)的子集，并且集合A中元素满足一定的秩序和关系，使预测值产生的映射值反映在拓展后的集合B中。

　　实际预测中，映射f体现为一种模糊的映射关系，定量地描述为一定的置信水平。该处的置信水平包含两方面内容：一是预测事件并未发生，即错误预测；二是预测值与实际发生值的偏差。