[分享]分形、混沌和全息
分形、混沌和全息
王兆强
曼德布罗特研究发现,分形常显示出无规则的表征,但是这决不意味着其绝对无规则,分形具有"自相似"的特征,即取分形图形的任一部分进行适当放大,便仍可得到与原来整个图形相似的图形.
现代"混沌"理论的研究也发现,所谓"混沌",也是具有无规则的表征而实际上具有无穷自相似的嵌套结构.这样,"分形"和"混沌"的研究便走向了汇合.我们可以看到这样一个事实,在题为"混沌"的书中有"分形"的章节,而在题为"分形"的书中又有"混沌"的章节.
"分形"与"混沌"这两个从不同角度发展起来的理论走向的汇合点就是"自相似".实际上,局部与整体自相似的观点在古老的中国文化中就有了.在国外,海克尔在100多年前发现的生物重演律,就是在时间的进程中生物演化的自相似,即个体发育重演了系统发育.
我国学者张颖清通过大量的观察,发现生物体在结构方面也具有相似特征.他表述为,生物体的任一部分都好象是整体的缩影,他将这一规律称之为生物全息律.
1983年,笔者也发现自然界广泛地存在类似规律,并称为"广义全息".而且还进一步提出了"过程全息"、"结构全息"的概念.所谓"过程全息",也就是"时间全息",它是指发展的某一阶段显示为整个过程的缩影.所谓"结构全息",它包括"空间全息",它是指在局部结构上显示为整体结构的缩影.
因此,从"自相似"意义上讲,"分形"、"混沌"和"广义全息"反映的实质是相同的.
在分形理论中,所谓分形元或生成元,其实就是广义全息理论中的全息元.张颖清先生提出的"全息胚"也就是一种全息元.
然而,这又产生了一个问题,"分形"、"混沌"和"全息"在概念上有什么区别?期间的关系又如何?
从曼德布罗特研究的对象特征来进行分析,"分形"一词的中文翻译似乎比原来曼德布罗特所构造的FRACTAL还要好.在中国古代神话中常有分身术之说,在所塑神像中有三头六臂,也有千手千面,这就是"分形".这种中文"分形"之词就内涵着"自相似"的含义,然而这却是原来英文词FRACTAL所没有的.而且,中文的"分形"和其测度"分维"在名词概念上也显示出联系,保持了原来英文词的含义.英文词FRACTAL有"支离破碎"之意,但是我们看到,"分形"并不一定就是"支离破碎".如洛伦兹曲线,&127;其处处连续而且光滑,呈蝴蝶状,它从其本身特征看,就应属于一种分形.
"混沌",英文原文为Chaos,无论是中文还是英文,其本意都是"混沌无序"的意思,但是其描述的对象却具有无穷自相似结构.从概念上讲,"混沌"的概念与其描述的对象的本质特征是不相符的.如上面提到的洛伦兹曲线,"混沌"概念就不能用来描述其基本特征.此外,如具有非常严格规则的人工图形,如Koch&127;曲线 Sierpinski垫片Sierpinski"地毯"Menger"海绵",等等,都只能称之为"分形",而不能称之为"混沌".
"混沌"理论中还有一个"分岔"概念,这应该也是中文意义上的"分形".由此,梅(May)的logistic曲线也是一种分形,而"混沌"现象则只是一种表征,"混沌"概念并不能反映该曲线的实质或根本特征.
在"混沌"研究中,往往把"湍流"当作"混沌"的同一语,然而,湍流是涡旋套涡旋,因此,"湍流"称之为"分形"似乎更为合适.
由此分析,从概念上讲,"分形"并不能与"混沌"等同,这是两个不同的概念.
从"分形"和"混沌"所研究的对象的"自相似"的基本特征看,它们应都属于"全息"结构."全息"是在"信息"方面的相似性,"信息"内涵很丰富,不仅局限于"形".因此,从概念上讲,"全息"概念更具有广泛性或一般性,因而也更为本质.
从概念层次关系或包涵关系分析,似乎是"全息"包涵"分形","分形"又包涵"混沌".然而反过来却似乎不可能,因"分形"可以不显示"混沌"的特征,而"全息"可以不局限在"形"上.
有必要指出的是,"分形"和"混沌"并不是任何大小的"碎片"都是绝对"全息"的,"全息不全",在不同层次范围或界限外会产生新的结构,即有着新的规则或序.所谓"全息"或"自相似",并非绝对的"一一对应",它只是"大致相似"或"统计意义上的自相似".
还有必要指出,"分形"和"分维"在概念上是不同的."分维"只不过是"分形"的一种定量描述参数.然而高安秀树所著《分数维》中似乎是将二者混同起来了.
从机制方面分析,也可以看出"全息"、"分形"和"混沌"在概念上的不同.然而曼德布罗特却没有指出"分形"产生的机制.用他自己的话讲,他只是描述世界,&127;而不是解释世界.
自然界形成这种"自相似"的机制,&127;就在于同一规则在不同层次间的连续实现或重演.实际上,现代"分形"理论和"混沌"理论中的许多人工图形,正是某一规则在不同层次间连续"迭代"而形成的.这种"迭代"也就是不同尺度的连续"重演".只不过许多构造这种人工图形的人没有自觉意识到罢了.前述Koch曲线 Sierpinski垫片Menger海绵都是这样构造的.梅的虫口模型曲线(即Logistic曲线)也是计算机迭代而形成的.
"混沌"理论提出了许多通向混沌的道路,甚至提出"条条道路通向混沌".然而,究竟什么是"混沌"?"混沌"理论本身也陷入了"混沌"状态,因为"混沌"理论认为"只要有足够精密的观察手段,就可以发现"混沌"具有无穷的内部结构".这样,实际上"混沌"理论连"混沌"的定义或"混沌"的标准都没搞清楚,因此,它没有而且也不可能阐明产生"混沌"的机制.
其实,混沌即混乱无序是由于支配作用的减弱或消失,以致在一定层次内显示出自由度增大而各向异性的结果.正所谓,"杂乱"是因"无章","有条"才能"不紊".
有必要指出,"混沌"理论中的一个经典例子即梅的logistic差分方程解,也确实会产生某种真正的混沌即混乱无序.这原因可能在于"分岔"在一定层次的交错参差的无规则性.这就如一棵树,当其各种分枝交错在一起,便显示出无序了,然而在其每一局部的枝叶分布都显示出了序性.在梅的差分方程解的计算机图上确实显示出了这种交错特征,一个简单规则的延续或重复,可能会产生交错覆盖.&127;这种交错覆盖之特殊层次中的无规则性会导致混沌,即混沌.其中既存在有序也存在无序,无序就是混沌,只不过这种有序和无序是显示在其不同层次之中.然而"混沌"理论并没有抓住其中真正的混沌,相反,却抓住了其中的有序和无序,因此而陷入困惑和"概念的混沌".在这种有序和无序的交错中,"混沌"理论的研究也许就如《混沌开创新科学》中的一个小标题所写的:"我们完全没有抓住要点".
从理论上,绝对的随机性就是绝对的混沌,这种随机性在不同尺度也都显示随机性,因此,这也是一种"分形",它具有在不同尺度上的自相似特征.但是,实际上,这种随机性总在一定尺度层次内显示的,超过了一定的限度,这种自相似便不存在了.这里,我们可以再回到曼德布罗特的海岸线上,在一定尺度内,它具有随机特征,因此它可以称之为"混沌"曲线.它在统计意义上显示为"自相似",但决不会是"一一对应".它这种分形超过了一定尺度便不再具备自相似的特征,或自相似性减弱.如在宏观上,甚至于可以用较为光滑的将其表示出来.
（本文摘自《科技导报》1993年1期）
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